II.3.2 Funciones especiales

En la aplicación de las teorías de Fourier se manejan una serie de funciones especiales como son la función impulso o Delta de Dirac, el tren de impulsos y la función escalón o de Heaviside. En este apartado veremos todas estas funciones.

II.3.2.1 La función Impulso Unitario

La función impulso unitario o Delta de Dirac se puede definir de tres formas:

Definición 1.- Mediante las dos siguientes condiciones:

O sea, es una función confinada en el origen y que tiene un valor tendiendo a infinito es este punto. Además, el área de esta función para cualquier intervalo que abarque el origen, en general de -∞ a +∞, es la unidad. Obviamente es muy difícil relacionar un impulso con una señal física, sin embargo, se puede pensar en la función impulso como un pulso de duración despreciable y amplitud finita.

Ilustración II-16: La Función Impulso Unitario.

La función impulso se suele representar con una flecha y número a su lado, indicando éste el área de ese impulso, 1 en el caso del impulso unitario, y no su amplitud, ya que esta última es siempre infinita.

Definición 2.- Otra forma más intuitiva para definir la función impulso es como el límite:

Siendo fn(t) una función de área unidad como las mostradas en la Ilustración II-17.

(II.33)

Ilustración II-17: Funciones con área unidad.

Definición 3.- Una forma más para caracterizar a la función impuso es a través la propiedad:

(II.34)

−∞

Una vez vistas las tres definiciones anteriores, se puede afirmar que la función impulso no se comporta como una función ordinaria, y que la mejor forma de caracterizarla es a través del comportamiento de las integrales en las que aparece.

Algunas de la propiedades adicionales de la función impulso pueden verse en Tabla II-2.

II.3.2.2 Tren Periódico de Impulsos Unitarios

Es aquella función periódica definida como:

(II.35)

Cuya descomposición en Serie de Fourier es:

                                   (II.36)

Ilustración II-18: Tren de Impulsos Unitarios.

II.3.2.3 La función Escalón Unitario

Además de la función impulso existe otra función importante en el análisis de Fourier, la función escalón unitario o de Heaviside (ver Ilustración II-19), que se define como:

(II.37)

Como se puede observar esta función no está definida en t = 0. Además se puede comprobar que:

(II.38)

Ilustración II-19: Función escalón unitario.

La función escalón es muy útil para representar discontinuidades. Por ejemplo, una función con una discontinuidad, se puede poner como una función continua más un escalón de altura la de la discontinuidad.

Ilustración II-20: Tratamiento de una discontinuidad mediante un escalón.

A modo de ejemplo, en la Ilustración II-20 se ha descompuesto la función discontinua f(t) en la suma de una función continua g(t) más un escalón cuya altura es A, precisamente la de la discontinuidad de f(t) en t=t0 , o sea:

(II.39)

Según esta descomposición la derivada de f(t) se calcula como la derivada de g(t) más un impulso de área A resultante de derivar la función escalón, por lo tanto:

                                                                                                                      (II.40)                                     Ilustración II-21: Derivada de una función discontinua

Si la función es periódica, entonces la podemos poner como una función continua más un tren de escalones. Mientras, su derivada es la de una función continúa más un tren de impulsos:

(II.41)

II.3.2.4 La función sinc

La función sinc se puede obtener como la envolvente de la Transformada de Fourier de las funciones del tipo que se muestra en la siguiente figura:

Ilustración II-22: Onda cuadrada

Los coeficientes de Fourier son:

(II.42)

Siendo su envolvente una función de tipo sinc definida como:

Esta función que se puede ver representada en la Ilustración II-23.

(II.43)

Ilustración II-23: la función sinc