II.3.2 Funciones especiales
En la aplicación de las teorías de Fourier se manejan una serie de funciones
especiales como son la
función impulso o
Delta de Dirac, el tren de
impulsos y la función
escalón o de Heaviside. En este apartado veremos todas estas funciones.
II.3.2.1 La función
Impulso Unitario
La función impulso unitario
o Delta de Dirac se puede definir
de tres formas:
Definición 1.- Mediante las dos siguientes condiciones:
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O sea, es una función
confinada en el origen y que tiene un valor tendiendo a infinito es este
punto. Además, el área de esta función para cualquier intervalo
que abarque el origen, en general de -∞ a +∞, es la unidad. Obviamente es muy difícil relacionar un impulso con una señal física, sin embargo, se puede pensar en la función
impulso como un pulso de duración
despreciable y amplitud finita.
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Ilustración II-16: La Función
Impulso Unitario.
La función
impulso se suele representar con una
flecha y número a su lado, indicando éste el área de ese impulso,
1 en
el caso del impulso unitario, y no su amplitud,
ya que esta última es siempre infinita.
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Definición 2.- Otra forma más intuitiva para definir la función impulso es como el límite:
Siendo fn(t)
una función de área unidad como las mostradas
en la Ilustración II-17.
(II.33)
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Ilustración II-17: Funciones con área unidad.
Definición 3.-
Una forma más para caracterizar a la función impuso es a través la propiedad:
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(II.34)
−∞
Una vez vistas las tres definiciones anteriores, se puede afirmar que la función
impulso no se comporta como una función ordinaria, y que la mejor forma de caracterizarla es a través del
comportamiento de las integrales en las que aparece.
Algunas de la propiedades adicionales de la función impulso pueden verse en Tabla II-2.
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II.3.2.2 Tren
Periódico de Impulsos Unitarios
Es aquella función
periódica definida como:
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(II.35)
Cuya
descomposición en Serie de Fourier
es:
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(II.36)
Ilustración II-18: Tren de Impulsos
Unitarios.
II.3.2.3 La función
Escalón Unitario
Además de la función impulso existe
otra función importante
en el análisis de Fourier,
la función escalón unitario o de Heaviside (ver Ilustración II-19), que se define como:
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(II.37)
Como se puede observar esta función no está definida en t = 0. Además se puede comprobar que:
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(II.38)
Ilustración II-19: Función
escalón unitario.
La función escalón es muy útil para representar discontinuidades. Por
ejemplo, una función con una discontinuidad, se puede
poner como una función continua más un escalón de altura la
de la discontinuidad.
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Ilustración II-20: Tratamiento de una discontinuidad mediante
un escalón.
A modo de ejemplo, en la Ilustración II-20 se
ha descompuesto
la función discontinua f(t) en la suma de una función continua
g(t) más un escalón cuya altura es A, precisamente
la de
la discontinuidad de f(t) en t=t0 , o sea:
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(II.39)
Según esta descomposición
la derivada de f(t) se calcula
como la derivada de g(t) más un impulso
de área A resultante de derivar la
función escalón, por lo tanto:
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(II.40) Ilustración II-21: Derivada de una función discontinua
Si la función es periódica, entonces
la podemos poner como una función continua
más un tren de
escalones. Mientras, su derivada es la de
una función continúa más un tren de impulsos:
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(II.41)
II.3.2.4 La función
sinc
La función sinc se puede obtener
como la envolvente de la Transformada de Fourier de las
funciones del tipo que se muestra en
la siguiente figura:
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Ilustración II-22: Onda cuadrada
Los coeficientes de Fourier son:
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(II.42)
Siendo su envolvente una función de tipo sinc
definida como:
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Esta función que se puede ver representada en la Ilustración II-23.
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(II.43)
Ilustración II-23: la función
sinc
