funciones periódicas y series de fourier

10-Septiembre-2015

una función es periódica si existe un número positivo tal que:

de donde T recibe el nombre de periodo

sabiendo que una función periódica cumple con las siguientes propiedades

 -si f y g son periódicas de periodo T entonces h(t)=a f(t) + b g(t)

- la funcion resultante del producto de f y g es periódica con periodo T

-los lìmites de integración pueden ser ubicados en relación con el cero.


FUNCIONES ORTOGONALES

una vez considerando estas definiciones podemos hablar de las 

SERIES DE FOURIER
cualquier función periódica con periodo T se puede representar como una suma de frecuencias llamados armonicos

tomando la siguiente fórmula

de donde tenemos que sacar lo coeficientes con las siguientes fórmulas:

para las funciones pares este intervalo de integración puede ser cortado a la mitad si a nuestro valor lo multiplicamos por 2.

finalmente si aplicamos Euler para nuestra serie podemos dejar expresado lo siguiente:

imagen de funciones ortogonales tomada de
funciones ortogonales

Series de Laurent

8-septiembre-2015


si f(z) no es analítica en Zo, no se admite desarrollo mediante las series de Taylor alrededor del mismo, pero podemos utilizar una serie de Laurent

-Esto solo puede ser aplicado con funciones de variable compleja.

propiedad:
si f(z) es analítica en el anillo 

entonces se cumple 

dándonos como resultado:

donde nuestra primera sumatoria corresponde a la parte analítica y la segunda a la parte principal.

series especiales

7 – Septiembre – 2015

SERIES DE POTENCIAS

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES

sucesiones y series (inicio)

4-Septiembre-2015

sucesiones
una sucesión compleja es una función de los números naturales sobre los números complejos

propiedades:

series
al igual que en los números reales si sumamos los elementos de una sucesión se obtiene una serie, representada por:

la convergencia de una serie compleja se determina mediante la convergencia de las series que la conforman

una serie es convergente si la sucesión de sumas parciales Sn dada por:

converge si Sn tiende a L, cuando n tiende a infinito, diremos que la suma de la serie es L

propiedades

CRITERIOS DE CONVERGENCIA

criterio de la razón

suponga que la sumatoria de Zn desde n=1 hasta el infinito es una serie de términos complejos nulos tales que:

i) si L<1 entonces la serie es absolutamente convergente

ii) si L>1, entonces la serie diverge (o L=∞)

iii) si L=1 el criterio no define.

criterio de la raiz

suponga que la sumatoria de Zn desde n=1 hasta el infinito es una serie de términos complejos nulos tales que:

i) si L<1 entonces la serie es absolutamente convergente

ii) si L>1, entonces la serie diverge

iii) si L=1 el criterio no define.

criterio de comparación

si la serie 

es absolutamente convergente o divergente y

es una serie infinita, tal que 

entonces es absolutamente o divergente respectivamente.